Predykcja na podstawie nieliniowego modelu przyczynowo-skutkowego

W warunkach nieliniowości modelu ekonometrycznego, jako predykatu w procesie prognozowania, wyróżniamy dwa zupełnie odrębne przypadki. Otóż, w pierwszym przypadku gdy model nie jest sprowadzalny do postaci liniowej (np. model logistyczny lub niektóre funkcje Törnquista) - co skutkuje niemożnością stosowania metody najmniejszych kwadratów - nie możemy przeprowadzić pełnej procedury predykcji punktowej, a w ogóle nie możemy wyznaczyć prognozy przedziałowej. Jesteśmy w stanie obliczyć prognozowaną wartość zmiennej objaśnianej - przez podstawienie do wzoru ustalonych wartości zmiennych objaśniających. Niestety, nie obliczymy ani wariancji, ani błędu średniego predykcji, gdyż nie dysponujemy macierzą wariancji i kowariancji. Nie zbudujemy prognozy przedziałowej, gdyż nie jesteśmy w stanie ustalić błędu średniego predykcji oraz niemożliwe jest obliczenie-odczytanie z tablic statystycznych wartości zmiennej losowej o rozkładzie t-Studenta. Składnik losowy modelu najprawdopodobniej nie jest zmienną losową o rozkładzie normalnym!

W przypadku modelu nieliniowego sprowadzalnego do postaci liniowej dostępna jest cała procedura predykcji punktowej. Wszystkie obliczenia w trybie ex ante, tj. wyznaczenie prognozowanej wartości zmiennej objaśnianej, wariancji i błędu średniego predykcji, wykonujemy w oparciu o zlinearyzowaną "wersję" modelu. Jeżeli linearyzacja pierwotnego modelu nieliniowego oznaczała wprowadzenie doń przekształconej zmiennej objaśnianej, to - dla uzyskania wartości tej zmiennej, zgodnej z postacią analityczną modelu - należy zarówno ostateczną prognozę punktową, jak i błąd średni predykcji obliczyć ponownie przeciwnie do zastosowanej transformanty linearyzacyjnej. Z prognozą przedziałową zasadniczo nie ma większych problemów, ale pod warunkiem, że do utrzymania jest założenie o normalności rozkładu składnika losowego modelu.

Oto przykład: w n = 10 gospodarstwach domowych zmierzono kształtowanie się wydatków na odzież i obuwie (zmienna objaśniana Y - w setkach złotych, w pewnym okresie czasu) w zależności od wydatków ogółem tegoż gospodarstwa domowego (zmienna objaśniająca X - w setkach złotych). Uzyskano taki oto liczbowy materiał empiryczny (kolumna i - indeks gospodarstwa domowego):

Zupełnie dobre dopasowanie do danych empirycznych daje model liniowy

 ,

ale zgodnie z wymogiem poszukiwania możliwie najlepszej aproksymanty, decydujemy się na korzystanie z modelu potęgowego:

gdzie:

a₀ - wartość Y dla X = 1,

a₁ ¹ 0 - elastyczność Y względem X ("o ile procent zmieni się Y, jeżeli X wzrośnie o 1%"),

u_i - składnik losowy.

Jest to model nieliniowy, ale linearyzacja jest stosunkowo prostym zabiegiem - wystarczy logarytmowanie i nie musi to być logarytm naturalny. I tak:

... i już mamy postać liniową

... gdzie poszczególne zmienne i parametry "z gwiazdkami" oznaczają:

Do obliczeń ocen parametrów strukturalnych i struktury stochastycznej bierzemy zlogarytmowane wartości obserwacji na zmiennych X i Y:

Oto przebieg obliczeń:

Det(X^TX) = 49,32855

Jest to wektor kolumnowy estymatorów parametrów modelu zlinearyzowanego:

= 0,30535 - estymator parametru ,

= 0,70589 - estymator parametru a₁.

Macierz wariancji i kowariancji:

... oraz wektor kolumnowy błędów ocen parametrów strukturalnych:

Zapisujemy liniowy model oszacowany:

 = 1,96530 (średnia arytmetyczna zmiennej objaśnianej)

S² = 0,016208 (ocena wariancji składnika losowego)

S = 0,127311 (ocena odchylenia standardowego składnika losowego)

V_S = 6,48% (współczynnik zmienności losowej)

j² = 0,050110 (współczynnik zbieżności)

R² = 0,949890 (współczynnik determinacji)

R = 0,974623 (współczynnik korelacji wielokrotnej)

Przeglądając oceny parametrów strukturalnych i parametrów stochastycznych stwierdzamy, że model bardzo dobrze opisuje badany związek przyczynowo-skutkowy i uzasadnione jest przypuszczenie, że będzie on dobrym predyktorem w ekonometrycznym prognozowaniu wartości zmiennej Y. Równie dobrym modelem będzie zatem model "macierzysty", czyli pierwotny model potęgowy. Ocenę parametru a₁ już znamy - a₁ = 0,70589. Ocenę parametru a₀ poznamy ze wzoru:

... i tak a₀ = 1,35709.

Zapisujemy potęgowy model oszacowany:

A teraz obliczymy prognozę punktową zmiennej Y przy założeniu, że X = 15:

·        z modelu liniowego

y^*P = 0,30535 + 0,70589 ln(15) = 2,216934, czyli

y^P = e^2,216934 = 9,1791415837 [setek złotych]

·        z modelu potęgowego

y^P = 1,35709*15^0,70589 = 9,1791415837 [setek złotych]

Nie ma zatem różnicy w sposobie obliczania prognozy punktowej, można ją obliczyć na podstawie modelu liniowego, jak i pierwotnego modelu nieliniowego. Inaczej ma się sprawa obliczania ocen dokładności prognozy. Wszystkie niezbędne ku temu dane mamy jedynie dla modelu liniowego. I tak:

• wariancja predykcji

0,018246

Wariancja predykcji nie dość, że nie ma interpretacji ekonomicznej, to dodatkowo, w przypadku konieczności przeliczania zmiennej prognozowanej do pierwotnej postaci analitycznej, nie da się jej obliczyć dla zmiennej objaśnianej modelu potęgowego. Mniejsza z tym; bardziej nas interesuje...

·        błąd średni predykcji

 0,135079

co stanowi V% = (0,135079 / 2,216934) * 100% = 6,09% wartości prognozy punktowej zmiennej modelu zlinearyzowanego. Aby błąd średni predykcji przeliczyć dla zmiennej objaśnianej modelu potęgowego, należy wykonać przekształcenie przeciwne do logarytmu naturalnego:

V(model potęgowy) = e^0,135079 = 1,144628 [setek złotych]

co stanowi (1,144628 / 9,1791415837) * 100% = 12,47% wartości prognozy punktowej zmiennej modelu potęgowego.

Prognozę przedziałową budujemy na podstawie modelu zlinearyzowanego, jednak pod warunkiem, że składnik losowy tego modelu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Przyjmujemy poziom istotności a = 0,05, co oznacza, że poziom ufności, 1-a = 0,95. Z tablicy statystycznej rozkładu rozkładzie t-Studenta odczytujemy liczbę na przecięciu wiersza n-k = 8 (liczba stopni swobody) i kolumny a = 0,05; t_a = 2,306. Połowa rozpiętości przedziału ufności jest równa V* t_a = 0,135079 * 2,306 = 0,311493 – dla zmiennej y*, oraz e^0,311493 = 1,365463 - dla zmiennej y.

Przedział ufności dla zmiennej modelu zlinearyzowanego:

P{1,905440 < y* < 2,528427} = 0,95

Przedział ufności dla zmiennej modelu potęgowego:

P{7,813679 < y < 10,544604} = 0,95

Ostatecznie prognozujemy "przedziałowo": jeżeli wydatki ogółem gospodarstawa domowego wyniosą 1500 zł, to z prawdopodobieństwem 95% (czyli w 95 przypadkach na 100) wydatki na odzież i obuwie zmieszczą się w przedziale od 781,37 zł do 1054,46 zł.

Mapa strony ekonometria.4me.pl

Copyright © ekonometria.4me.pl 2005-2013. Wszelkie prawa zastrzeżone. Zabrania się kopiowania, redystrybucji, publikacji lub modyfikacji jakichkolwiek materiałów zawartych na stronie internetowej , bez wcześniejszej pisemnej zgody autorów.

Predykcja na podstawie nieliniowego modelu przyczynowo-skutkowego