Prosty model wygładzania wykładniczego Browna

Wygładzanie wykładnicze polega w skrócie na tym, że szereg jest wygładzany się za pomocą ważonej średniej ruchomej, przy czym wagi obliczane są  według porządku wykładniczego.

Zależnie od wniosków wynikających z dekompozycji szeregu dostosowujemy odpowiednią metodę wyrównywania wykładniczego. Do najpowszechniej znanych i stosowanych należą tu: 

• prosty model wygładzania wykładniczego Browna,

• model liniowy Holta oraz

• model Wintersa - wersja addytywna i multiplikatywna.

Prosty model wygładzania wykładniczego Browna  zasadniczo stosujemy w przypadku występowania prawie stałego poziomu zmiennej prognozowanej oraz niewielkich wahań przypadkowych.

Poniższe równanie określa sposób obliczenia prognozy na podstawie średniej ruchomej prostej. Wyznaczając prognozę na  okres  zapiszemy ją następująco:

Wartość prognozy na  okres  t natomiast można wyrazić następująco:

Zmodyfikujmy to równanie wstawiając zamiast wartości zmiennej prognozowanej w okresie   przybliżoną  wartość prognozy wyznaczonej na poprzedni okres:

W ten sposób uzyskaliśmy równanie, w którym najświeższej obserwacji zmiennej prognozowanej nadana jest waga   a prognozie  waga

Symbolem a  mozemy zastapić wagę  ,otrzymując:

Model  po podstawieniu za , czyli za błąd ex post prognozy obliczonej na  okres , wyrażenia  zapiszemy następująco:

Możemy rówananie to rozwinąć zastpępując wartości prognozy wyznaczonej na okres  wyrażeniem i wtedy otrzymamy:

Ponawiając to samo wielokrotnie czyli podstawiając za wyrażenie   itd otrzymamy:

a następnie

Ponieważ parametr   jest liczbą z należącą do przedziału (0, 1], to, dla ¹ 1, wagi a, ... maleją wykładniczo i stąd wzięła się nazwa metody - wygładzanie wykładnicze, zaś od nazwiska twórcy tej metody przyjęło się w literaturze nazywać ją metodą wyrównywania wykładniczego Browna.

Konstruując prognozę na okres t, przyjmuje się tutaj, że wyniesie ona tyle ile prognoza wyznaczonej na okres poprzedni , po skorygowaniu jej o pewną część (a - stałą wygładzania) jej bezwzględnego błędu ex post.

Zatem, jeżeli wyznaczona-prognoza na okres  była, w porównaniu z rzeczywistą wartością , zbyt niska  to prognoza konstruowana naokres t zwiększa się (porównując z poprzednią), i odwrotnie, jeśli wyznaczona prognoza na okres  była, w porównaniu z prawdziwą wartością zmiennej prognozowanej , to prognoza konstruowana na okres t zmniejszy się (w porównaniu z poprzedzającą).

Przykład:

Wyrównywanie wykładnicze Browna (wersja z uwzględnieniem trendu)

Parametr wygładzania alfa wybiera się na podstawie kryterium
najmniejszego błędu ex post prognoz wygasłych.

W obliczeniach do tabelki posługuję się wzorami:

wartośc wygładzona :


przyrosty ocen wartości trendu

prognozy wygasłe


Przyjęte alfa= 0,3

Błędy prognoz wygasłych ex-post:

Mean error - średni błąd


Mean squared error - średni błąd kwadratowy


PIERWIASTEK BŁĘDU ŚREDNIOKWADRATOWEGO (root mean squere error)


Root Mean Square Percentage Error), czyli pierwiastek procentowego błędu
średniokwadratowego


ŚREDNI ABSOLUTNY BŁĄD PROCENTOWY (mean absolute percentage error)

Mapa strony ekonometria.4me.pl

Copyright © ekonometria.4me.pl 2005-2013. Wszelkie prawa zastrzeżone. Zabrania się kopiowania, redystrybucji, publikacji lub modyfikacji jakichkolwiek materiałów zawartych na stronie internetowej , bez wcześniejszej pisemnej zgody autorów.

Model Browna