Metoda trendu pełzającego

 

Metoda trendu pełzającego

Metoda ta jest numerycznym narzędziem wyodrębnienia tendencji rozwojowej zmiennej prognozowanej. Na wejściu zatem mamy n-elementowy szereg czasowy (okresów lub momentów) zawierający wartości empiryczne, a na wyjściu – również n-elementowy ciąg wartości teoretycznych. Procedurę postępowania w metodzie trendu pełzającego podzielimy na kroki, które koniecznie muszą być wykonane w przedstawionym porządku.

 

Krok 1. Arbitralne ustalenie wartości okresu wygładzania l.

Parametr l jest jedynym parametrem metody Hellwiga, którego nie szacujemy, lecz ustalamy go arbitralnie. Musi to być liczba naturalna, spełniająca dwa podstawowe warunki:

·        (koniecznie!) 2 < l < n oraz

·        l powinno być nieparzyste (3, 5, 7 itd.).

Warunek o nieparzystości nie musi być zachowany. Jeżeli jednak l będzie liczbą parzystą, to obliczone teoretyczne wartości zmiennej prognozowanej nie będą „trafiały” w indeksy (okresy lub momenty) odpowiednich empirycznych wartości tej zmiennej. Aby doprowadzić do niezbędnej zgodności indeksów t, trzeba wtedy obliczać średnie arytmetyczne wartości teoretycznych, co znacznie wydłuża proces obliczeń i naraża nas na dodatkowe błędy np. zaokrąglania.

Domyśla wartość parametru l (możliwie najmniejsza): l = 3. Jeżeli zatem brak jest jakichkolwiek wskazówek co do wartości l, wówczas należy przyjąć wartość domyślną. W praktyce, im mniejsze n, tym mniejsze l, i na odwrót. Pojemniejszy szereg czasowy pozwala nam zastosować większą wartość l i wtedy możemy uzyskać lepsze wygładzenie szeregu czasowego – teoretyczne wartości zmiennej prognozowanej łagodniej „pełzają” pomiędzy wartościami empirycznymi.

 

Krok 2. Oszacowanie k liniowych modeli tendencji rozwojowej

Parametr k oznacza liczbę liniowych modeli segmentowych.

k = n - l + 1

Jeżeli n = 15 a l = 5 to k = 11. Tyle właśnie 5-elementowych segmentów (podciągów) można utworzyć z macierzystego ciągu 15-elementowego. Każdy z szacowanych w tym kroku modeli segmentowych ma następującą postać (w zapisie pominięto składnik losowy):

 

y_i(t) = a_i + b_i*t   (i = 1, 2, ..., k oraz i £ t £ l+i-1)

gdzie:

i – numer modelu segmentowego,

y_i(t) – teoretyczna wartość zmiennej prognozowanej dla okresu lub momentu t, obliczona na podstawie i-tego modelu segmentowego,

a_i – parametr wolny i-tego modelu segmentowego,

b_i – parametr związany ze zmienną czasową i-tego modelu segmentowego.

 

Jeżeli szereg czasowy składa się z n obserwacji na zmiennej prognozowanej

y₁, y₂, ..., y_n-1, y_n

to na wejściu procedury szacowania parametrów k modeli segmentowych mamy dane liczbowe wymienione w kolumnach 2 i 3 poniższej tabeli.

 

 

Dla każdego modelu segmentowego (i) oceny parametrów a_i, b_i obliczamy, stosując dowolne z wymienionych poniżej podejść (sposobów):

 

• Sposób klasyczny ("macierzowa" MNK – wzory znane z kursu ekonometrii)

gdzie:

a – wektor kolumnowy ocen parametrów strukturalnych, ,

X – macierz obserwacji na zmiennych niezależnych, i tak (gdy l = 3):

dla i = 1:, dla i = 2:, dla i = k – 1:, dla i = k:,

y – wektor kolumnowy obserwacji na zmiennej objaśnianej (prognozowanej), i tak (gdy l =3):

dla i = 1:, dla i = 2:, dla i = k –1:, dla i = k:.

 

• Sposób klasyczny ("niemacierzowa" MNK – wzory znane z kursu ekonometrii)

gdzie:

- średnie arytmetyczne obliczamy ze wzorów: ,

- wszelkie sumowania przebiegają po wartościach zmiennej czasowej danego modelu segmentowego.

 

• Sposób uproszczony – rozwiązujemy układ równań normalnych, pozostawiając nieprzekształcone równania z czterema sumami (uwagi o sumowaniu – jak poprzednio):

(układ równań normalnych)

(... i ostateczne wzory)

 

Krok 3. Obliczenie „segmentowych” wartości teoretycznych zmiennej prognozowanej

Dla każdego modelu segmentowego obliczamy l-elementowy ciąg wartości teoretycznych zmiennej prognozowanej a korzystamy ze wzoru:

w którym a_i i b_i oznaczają oceny parametrów strukturalnych i-tego modelu segmentowego. Przy założeniu, że l = 3, przebieg obliczeń pokazuje poniższa tabela.

 

 

Krok 4. Obliczenie ostatecznych wartości teoretycznych zmiennej prognozowanej

W kroku trzecim obliczyliśmy k (bo tyle jest modeli segmentowych) l-elementowych „segmentowych” wartości teoretycznych zmiennej prognozowanej. Aby obliczyć wartości trendu pełzającego, czyli n ostatecznych wartości teoretycznych, należy zastosować podany wzór dla wszystkich t = 1, 2, ..., n:

gdzie:

 - ostateczna wartość teoretyczna dla okresu lub momentu t,

k_i - liczba „segmentowych” teoretycznych wartości zmiennej prognozowanej dla okresu lub momentu t,

- j-ta teoretyczna wartość zmiennej prognozowanej dla okresu lub momentu t obliczona z i-tego modelu segmentowego.

Przy założeniu, że l = 3, sposób prowadzenia obliczeń pokazuje poniższa tabela.

Przebieg obliczeń w metodzie trendu pełzającego zilustrujemy przykładem.

 

Metoda trendu pełzającego (przykład)

Dysponujemy n = 14-elementowym szeregiem czasowym okresów, w którym y_t oznacza zaobserwowane roczne wydobycie węgla brunatnego (w mln ton) w pewnym zagłębiu górniczym w Polsce, w latach 1980-1993.

 

 

Podany szereg czasowy okresów należy wygładzić trendem pełzającym, przyjmując okres wygładzania l = 3 (krok 1 mamy więc za sobą!).

 

Krok 2. Oszacowanie k liniowych modeli tendencji rozwojowej

k = n - l + 1 = 14 – 3 + 1 = 12

(zastosowano sposób uproszczony)

Interpretacja uzyskanych ocen parametrów a_i i b_i:

Każda z k=12 wartości a_i oznacza teoretyczną wielkość wydobycia węgla brunatnego dla t = 0 (czyli w 1979 roku), przy założeniu liniowego trendu rozwojowego; i tak:

a₁ = 22,37 mln ton, jeśli do obliczeń weźmiemy dane za lata 1980, 1981 i 1982;

a₂ = 21,50 mln ton, jeśli do obliczeń weźmiemy dane za lata 1981, 1982 i 1983;

a₁₀ = 42,42 mln ton, jeśli do obliczeń weźmiemy dane za lata 1989, 1990 i 1991;

a₁₂ = 29,32 mln ton, jeśli do obliczeń weźmiemy dane za lata 1991, 1992 i 1993.

Każda z k=12 wartości b_i oznacza teoretyczną wielkość przeciętnego rocznego przyrostu bezwzględnego wydobycia węgla brunatnego; i tak:

b₁ = 0,65 mln ton (trend wzrostowy), jeśli do obliczeń weźmiemy dane za lata 1980, 1981 i 1982;

b₂ = 1,20 mln ton (trend wzrostowy), jeśli do obliczeń weźmiemy dane za lata 1981, 1982 i 1983;

b₁₀ = -0,25 mln ton (trend malejący), jeśli do obliczeń weźmiemy dane za lata 1989, 1990 i 1991;

b₁₂ = 0,85 mln ton (trend wzrostowy), jeśli do obliczeń weźmiemy dane za lata 1991, 1992 i 1993.

 

Komentarz do obliczeń według wzorów sposobu uproszczonego:

 

Krok 3. Obliczenie „segmentowych” wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej,

W tabeli „Obliczone i ” są to wartości w kolumnach od „” do „”.Dla przykładu:  = 22,37 + 0,65*1 = 23,02;  = 22,37 + 0,65 * 2 = 23,67;  = 21,50 + 1,20*2 = 23,90;  = 29,32 + 0,85*14 = 41,22 itd., gdyż formułę

czytamy: teoretyczna wartość zmiennej objaśnianej w okresie t obliczona na podstawie i-tego modelu segmentowego.

 

Obliczone i

 

 

Krok 4. Obliczenie ostatecznych wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej,

Wygładzone, ostateczne wartości teoretyczne zawiera ostatnia kolumna tabeli „Obliczone i ”. W każdym wierszu, czyli dla każdego t, obliczamy średnie arytmetyczne z „segmentowych” wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej.

 

Ekstrapolacja trendu z zastosowaniem wag harmonicznych

Drugi etap metody Hellwiga jest właściwym prognozowaniem. Prognozę punktową obliczamy ze wzoru:

gdzie:

T – numer okresu lub momentu czasu, dla którego stawiamy prognozę (T > n),

w - współczynnik harmoniczny - najbardziej prawdopodobny jednookresowy przyrost funkcji trendu,

 - teoretyczna ("wygładzona") wartość zmiennej prognozowanej dla ostatniego elementu szeregu czasowego (przywołujemy przykład – =  = 41,22).

Wartość T jest zadawana na wejściu procesu prognozowania, pozostaje więc obliczenie współczynnika harmonicznego, aby wszystko z prawej strony wzoru było wiadome. Oto wzór na współczynnik harmoniczny:

gdzie ułamek  (dla t = 1, 2, ..., n-1) nazywamy wagą harmoniczną – stąd wzięła się nazwa metody prognozowania.

Przytoczony wzór ma logiczne uzasadnienie. Współczynnik w jest po prostu ważoną średnią arytmetyczną n-1 bezwzględnych przyrostów wartości teoretycznych zmiennej prognozowanej. Są to kolejno przyrosty: n-1-okresowe, n-2-okresowe, ..., 2-okresowe i jednookresowy, liczone od okresu n-tego w przeszłość. Najmniej waży przyrost n-1 okresowy, najwięcej zaś – przyrost jednookresowy. Jest to realizacja zasady „starzenia się” informacji. W poniższej tabeli zamieszczono przebieg i wynik obliczeń sumy  dla danych z naszego przykładu.

 

 

Ostatecznie...

Interpretacja: w = 0,949 mln ton - o tyle średnio z roku na rok będzie wzrastało wydobycie węgla brunatnego!

 

Obliczenie prognozy punktowej

Kontynuujemy przykład z wydobyciem węgla. Należy wyznaczyć prognozy punktowe wydobycia na lata 1994, 1995 i 1996. Wielkości wcześniej obliczone:

w = 0,949,

n = 14 (rok 1993),

=41,22.

Zadajemy odpowiednie wartości parametru T i podstawiamy do wzoru na prognozę punktową – patrz tabela.

 

Błąd predykcji punktowej (V_T) - podobnie jak w przypadku modelu wyrównania wykładniczego - obliczamy ze wzoru:

 

V_T » W_r *

gdzie:

W_r - współczynnik rozbieżności Theila wyznaczany ze wzoru

 

,

 

w którym  oznacza teoretyczną wartość zmiennej prognozowanej (wyznaczoną według metody trendu pełzającego) w okresie lub momencie t, dla t = 1, 2, ..., n.

 

Współczynnik rozbieżności Theila zastosowany w prognozowaniu metodą Hellwiga (ściślej: w prognozowaniu metodą wag harmonicznych) "bierze po uwagę" sumę kwadratów różnic wartości empirycznych (y_t) i wartości teoretycznych () zmiennej prognozowanej. Sumę tę odnosi (w sensie ilorazu) do kwadratów wartości empirycznych (y_t). Pierwiastek z tego ilorazu pozwala obliczyć względny (procentowy) udział błędu predykcji w wartości punktowej prognozy (). Udział ten (procentowo) jest jednakowy dla wszystkich prognoz punktowych, niezależnie od oddalenia predykcji w przyszłość. Poniższa tabela obrazuje proces obliczania współczynnika rozbieżności Theila.

 

 

 

 

 = 0,00998 = 0,998%

 

Mamy tutaj do czynienia z niezwykle małą niezgodnością pomiędzy empirycznymi a teoretycznymi wartościami zmiennej prognozowanej. Można stwierdzić, że bardzo dużą zgodnoś

 

 

 

 

Jeżeli zaś chodzi o prognozowanie przedziałowe, to postępujemy dokładnie tak samo jak w przypadku prognozowania na podstawie modelu wyrównania wykładniczego.

 

Ekonometria Model ekonometryczny teoria Jednorównaniowy model ekonometryczny Metoda Hellwiga MNK Podstawy weryfikacji Hipoteza o istotności parametrów strukturalnych Funkcja produkcji Ekonometria  korelacja i regresja  wzory Założenia i własności predykcji ekonometrycznej Jak to robią profesjonaliści ? Analiza przepływów międzygałęziowych Programowanie liniowe Analiza popytu Analiza kosztów Współczynniki Pearsona  dwie zmienne objaśniające Współczynniki Pearsona trzy zmienne objaśniające Zadania obowiązujące na SGH cz.1

Statystyka Statystyka  pojęcia podstawowe Parametry statystyczne Opracowanie materiału statystycznego Tablica korelacyjna Podstawowe prawdy statystyki Kilka rozkładów Statystyka  wzory Dystrybuanta rozkładu normalnego N Rozkład Durbina Watsona Rozkład t Studenta Rozkład wartości krytycznej współczynnika korelacji dla 0,05 Rozkład F dla 0,05 Rozkład F dla 0,01 Rozkład liczby serii Rozkład Poissona Rozkład G.Cochrana Rozkład chi kwadrat

Prognozowanie i symulacje Prognozowanie sprzedaży Prognozowanie popytu Prognozowanie -metody heurystyczne Składowe szeregów czasowych Modele szeregów czasowych Metody naiwne Metoda średniej ruchomej Wygładzanie wykładnicze Prosty model wygładzania wykładniczego Browna Model liniowy Holta Model Wintersa Prognozowanie ekonometryczne Modele tendencji rozwojowej Modele analityczne Trend pełzający Modele składowej periodycznej Metoda wskaźników Analiza harmoniczna Modele autoregresyjne Modele ARMA i ARIMA Model nieliniowy Model tendencji rozwojowej Metoda prognozowania Hellwiga Metoda trendu pełazającego Prognozowanie ekonometryczne